Matematica aplicata (clasele IV-VIII): construirea si rezolvarea unui sistem de ecuatii December 05 2017, 0 Comments

Varsta mamei este cu 20 de ani mai mare decat varsta fiicei. Peste 10 ani, varsta mamei va fi de doua ori  mai mare decat varsta fiicei. Calculati varsta fiicei si cea a mamei, in prezent.

Pentru rezolvare, recomandam folosirea metodei algebrice (exista si varianta reprezentata de metoda grafica, prin intermediul unor segmente, dar aceasta este specifica claselor III-IV si, in plus, este considerata mult mai dificila de catre majoritatea elevilor, in special atunci cand numarul de necunoscute este ridicat) .

Prima etapa: stabilirea si notarea necunoscutelor. Problema are doua necunoscute: varstele celor doua persoane (mama si fiica), in prezent.  Putem folosi oricare doua litere pentru a nota cele doua varste; probabil notatiile cele mai sugestive vor fi m, pentru varsta mamei, si f, pentru varsta fiicei.

Etapa a doua consta in construirea unui set de ecuatii care sa exprime in limbaj matematic enuntul. Asadar:

m = f + 20

m + 10 = 2 x (f + 10)

Daca prima ecuatie este relativ simplu de construit, cea de-a doua poate da batai de cap multor elevi. Atentie: peste 10 ani, atat mama, cat si fiica vor avea varste cu 10 ani mai mari decat in prezent (o eroare frecventa consta in adaugarea lui 10 doar la varsta mamei, ajungandu-se, astfel, la ecuatia gresita m + 10 = 2 x f).

Etapa a treia: rezolvarea sistemului de ecuatii. Inlocuind m cu f + 20 in cea de-a doua ecuatie, aceasta devine:
f + 20 + 10 = 2f + 20 => 2f - f = 30 - 20 (mutam necunoscuta in partea dreapta a ecuatiei, astfel incat coeficientul ei sa ramana pozitiv, si, implicit, termenii liberi in partea stanga, rasturnand simultan ecuatia - mici artificii care pot fi invatate extrem de rapid) => f = 10 ani

Revenind in prima ecuatie: m = 10 + 20 => m = 30 ani

S: (m, f) ∈ {(30 ani, 10 ani)}

Etapa finala: verificarea solutiei obtinute (o etapa extrem de importanta, neglijata de multi elevi). Pentru verificare, revenim la datele initiale ale problemei si inlocuim necunoscutele cu solutia obtinuta.

(1) Varsta mamei este cu 20 de ani mai mare decat varsta fiicei: 30 = 10 + 20 "A" (propozitia este adevarata)

(2) Peste 10 ani, varsta mamei va fi de doua ori  mai mare decat varsta fiicei: 30 + 10 = 2 x (10 + 10) "A"