Congruența triunghiurilor: cazul LUU (latură-unghi-unghi) January 26 2018, 0 Comments

În majoritatea manualelor și culegerilor de matematică publicate în România, cazurile de congruență a triunghiurilor se rezumă la cele trei situații "clasice": latură-latură-latură (LLL), latură-unghi-latură (LUL) și unghi-latură-unghi (ULU). În afară de aceste trei situații, există și cazul în care perechile de unghiuri congruente nu sunt cele alăturate laturilor respectiv congruente (mai simplu spus, este suficient ca oricare două perechi de unghiuri din cele două triunghiuri să fie congruente, în condițiile în care există o pereche de laturi, respectiv, congruente, pentru ca cele două triunghiuri să fie, la rândul lor, congruente). Demonstrația este simplă și se bazează pe teorema conform căreia în orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor este de 180°:

Fie două triunghiuri, ∆ABC și ∆MNP. Laturile AB și MN sunt congruente (notația matematică corectă: [AB] ≡ [MN]), iar perechile de unghiuri congruente sunt: ∠ A ≡ ∠ M, ∠ C ≡ ∠ P. Constatăm că nu putem încadra situația aceasta în cazul de congruență ULU, deoarece perechea de unghiuri C și P nu reprezintă unghiuri alăturate perechii de laturi congruente, AB și MN. Cum procedăm pentru a demonstra că unghiurile B și N sunt, la rândul lor, congruente?

∠ A ≡ ∠ M <=> m (∠ A) = m (∠ M) (1)
∠ C ≡ ∠ P <=> m (∠ C) = m (∠ P) (2)

∆ABC: m (∠ A) + m (∠ B) + m (∠ C) = 180° => m (∠ B) = 180° ̶  [m (∠ A) + m (∠ C)] (3)

∆MNP: m (∠ M) + m (∠ N) + m (∠ P) = 180° => m (∠ N) = 180° ̶  [m (∠ M) + m (∠ P)] (4)

Din (1), (2), (3) și (4) => m (∠ B) = m (∠ N) <=> ∠ B ≡ ∠ N

Să recapitulăm: ∠ A ≡ ∠ M, [AB] ≡ [MN] și ∠ B ≡ ∠ N => (conform cazului de congruență a triunghiurilor ULU) ∆ABC ≡ ∆MNP.

Desigur, ar fi mult mai dezirabilă introducerea acestui caz, LUU, în programa românească (reprezintă o simplă extensie a cazului ULU și este prezent, în forma aceasta, în programele din alte spații geografice), decât încărcarea demonstrațiilor geometrice cu elemente suplimentare prea puțin utile.