Blog

Economie aplicata: rata nominala si rata reala a dobanzii December 13 2017, 0 Comments

O persoana a depus suma de 1 000 lei intr-un depozit bancar, la o rata (nominala) a dobanzii de 1%. Rata inflatiei in anul analizat a fost 5%. Calculati suma de bani aflata in contul de depozit la sfarsitul anului respectiv si analizati, din punct de vedere economic, decizia persoanei respective.

Daca raspunsul la prima intrebare este relativ simplu (D = S × d × n, unde S reprezinta suma initiala - depozitul, d este rata dobanzii, iar n reprezinta numarul de ani, prin urmare D = 1 000 × 1% × 1 = 10 lei => suma aflata in cont, la sfarsitul anului, este 1 000 + 10 = 1 010 lei), determinarea randamentului economic real al actiunii respective (al deciziei de a economisi) necesita compararea ratei dobanzii (venitul obtinut de o persona ce depune suma de 100 lei, timp de un an, intr-un cont de depozit) cu rata inflatiei (cresterea generalizata, exprimata procentual, a preturilor).In cazul in care rata inflatiei este superioara ratei dobanzii, depunerea nu este rentabila din punct de vedere economic, chiar daca genereaza un venit (dobanda obtinuta), deoarece scaderea puterii de cumparare a sumei economisite, provocata de inflatie, este mai mare decat cresterea ei nominala. Matematic, relatia dintre cele trei rate este descrisa de urmatoarea ecuatie: r = d i , unde r = rata reala a dobanzii, d = rata nominala a dobanzii, iar i = rata inflatiei. (Formula corecta este ceva mai complicata, dar, in cazul in care rata inflatiei este relativ mica, se poate folosi aproximarea anterioara). Prin urmare, în exemplul de mai sus, deoarece rata reala a dobanzii este negativa (r = d − i = 1% − 5% = − 4%), depunerea banilor intr-un cont de depozit nu reprezinta o alegere rentabila din punct de vedere economic.

Matematica aplicata (clasele IV-VIII): construirea si rezolvarea unui sistem de ecuatii December 05 2017, 0 Comments

Varsta mamei este cu 20 de ani mai mare decat varsta fiicei. Peste 10 ani, varsta mamei va fi de doua ori  mai mare decat varsta fiicei. Calculati varsta fiicei si cea a mamei, in prezent.

Pentru rezolvare, recomandam folosirea metodei algebrice (exista si varianta reprezentata de metoda grafica, prin intermediul unor segmente, dar aceasta este specifica claselor III-IV si, in plus, este considerata mult mai dificila de catre majoritatea elevilor, in special atunci cand numarul de necunoscute este ridicat) .

Prima etapa: stabilirea si notarea necunoscutelor. Problema are doua necunoscute: varstele celor doua persoane (mama si fiica), in prezent.  Putem folosi oricare doua litere pentru a nota cele doua varste; probabil notatiile cele mai sugestive vor fi m, pentru varsta mamei, si f, pentru varsta fiicei.

Etapa a doua consta in construirea unui set de ecuatii care sa exprime in limbaj matematic enuntul. Asadar:

m = f + 20

m + 10 = 2 x (f + 10)

Daca prima ecuatie este relativ simplu de construit, cea de-a doua poate da batai de cap multor elevi. Atentie: peste 10 ani, atat mama, cat si fiica vor avea varste cu 10 ani mai mari decat in prezent (o eroare frecventa consta in adaugarea lui 10 doar la varsta mamei, ajungandu-se, astfel, la ecuatia gresita m + 10 = 2 x f).

Etapa a treia: rezolvarea sistemului de ecuatii. Inlocuind m cu f + 20 in cea de-a doua ecuatie, aceasta devine:
f + 20 + 10 = 2f + 20 => 2f - f = 30 - 20 (mutam necunoscuta in partea dreapta a ecuatiei, astfel incat coeficientul ei sa ramana pozitiv, si, implicit, termenii liberi in partea stanga, rasturnand simultan ecuatia - mici artificii care pot fi invatate extrem de rapid) => f = 10 ani

Revenind in prima ecuatie: m = 10 + 20 => m = 30 ani

S: (m, f) ∈ {(30 ani, 10 ani)}

Etapa finala: verificarea solutiei obtinute (o etapa extrem de importanta, neglijata de multi elevi). Pentru verificare, revenim la datele initiale ale problemei si inlocuim necunoscutele cu solutia obtinuta.

(1) Varsta mamei este cu 20 de ani mai mare decat varsta fiicei: 30 = 10 + 20 "A" (propozitia este adevarata)

(2) Peste 10 ani, varsta mamei va fi de doua ori  mai mare decat varsta fiicei: 30 + 10 = 2 x (10 + 10) "A"