Blog

Sisteme de inecuații (matematică VII-VIII) February 19 2018, 0 Comments

Să se afle soluțiile întregi ale sistemului de inecuații:

7 < 2 – 3x < 13

Rezolvarea presupune, mai întâi, eliminarea termenului liber din expresia care conține necunoscuta, urmată de obținerea coeficientului 1 pentru necunoscută. Astfel:

7 < 2 – 3x < 13|– 2 [scădem 2 din fiecare termen al inecuației]

5 < – 3x < 11|: (– 3) [împărțim termenii inecuației la – 3; observație: semnul unei inecuații se schimbă atunci când aceasta se înmulțește sau se împarte la un număr negativ]

– 5/3 > x > – 11/3 [urmează ultima etapă: scrierea termenilor finali în ordine crescătoare]

– 11/3 < x < – 5/3 

Tinând cont de restricția inițială (x este număr întreg), soluția sistemului de inecuații este mulțimea      {– 3, – 2}. Bineînțeles, nu neglijăm verificarea soluției, revenind cu fiecare dintre cele două numere obținute în setul inițial de inecuații.


Congruența triunghiurilor: cazul LUU (latură-unghi-unghi) January 26 2018, 0 Comments

În majoritatea manualelor și culegerilor de matematică publicate în România, cazurile de congruență a triunghiurilor se rezumă la cele trei situații "clasice": latură-latură-latură (LLL), latură-unghi-latură (LUL) și unghi-latură-unghi (ULU). În afară de aceste trei situații, există și cazul în care perechile de unghiuri congruente nu sunt cele alăturate laturilor respectiv congruente (mai simplu spus, este suficient ca oricare două perechi de unghiuri din cele două triunghiuri să fie congruente, în condițiile în care există o pereche de laturi, respectiv, congruente, pentru ca cele două triunghiuri să fie, la rândul lor, congruente). Demonstrația este simplă și se bazează pe teorema conform căreia în orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor este de 180°:

Fie două triunghiuri, ∆ABC și ∆MNP. Laturile AB și MN sunt congruente (notația matematică corectă: [AB] ≡ [MN]), iar perechile de unghiuri congruente sunt: ∠ A ≡ ∠ M, ∠ C ≡ ∠ P. Constatăm că nu putem încadra situația aceasta în cazul de congruență ULU, deoarece perechea de unghiuri C și P nu reprezintă unghiuri alăturate perechii de laturi congruente, AB și MN. Cum procedăm pentru a demonstra că unghiurile B și N sunt, la rândul lor, congruente?

∠ A ≡ ∠ M <=> m (∠ A) = m (∠ M) (1)
∠ C ≡ ∠ P <=> m (∠ C) = m (∠ P) (2)

∆ABC: m (∠ A) + m (∠ B) + m (∠ C) = 180° => m (∠ B) = 180° ̶  [m (∠ A) + m (∠ C)] (3)

∆MNP: m (∠ M) + m (∠ N) + m (∠ P) = 180° => m (∠ N) = 180° ̶  [m (∠ M) + m (∠ P)] (4)

Din (1), (2), (3) și (4) => m (∠ B) = m (∠ N) <=> ∠ B ≡ ∠ N

Să recapitulăm: ∠ A ≡ ∠ M, [AB] ≡ [MN] și ∠ B ≡ ∠ N => (conform cazului de congruență a triunghiurilor ULU) ∆ABC ≡ ∆MNP.

Desigur, ar fi mult mai dezirabilă introducerea acestui caz, LUU, în programa românească (reprezintă o simplă extensie a cazului ULU și este prezent, în forma aceasta, în programele din alte spații geografice), decât încărcarea demonstrațiilor geometrice cu elemente suplimentare prea puțin utile.

 

 


Economie aplicata: rata nominala si rata reala a dobanzii December 13 2017, 0 Comments

O persoana a depus suma de 1 000 lei intr-un depozit bancar, la o rata (nominala) a dobanzii de 1%. Rata inflatiei in anul analizat a fost 5%. Calculati suma de bani aflata in contul de depozit la sfarsitul anului respectiv si analizati, din punct de vedere economic, decizia persoanei respective.

Daca raspunsul la prima intrebare este relativ simplu (D = S × d × n, unde S reprezinta suma initiala - depozitul, d este rata dobanzii, iar n reprezinta numarul de ani, prin urmare D = 1 000 × 1% × 1 = 10 lei => suma aflata in cont, la sfarsitul anului, este 1 000 + 10 = 1 010 lei), determinarea randamentului economic real al actiunii respective (al deciziei de a economisi) necesita compararea ratei dobanzii (venitul obtinut de o persona ce depune suma de 100 lei, timp de un an, intr-un cont de depozit) cu rata inflatiei (cresterea generalizata, exprimata procentual, a preturilor).In cazul in care rata inflatiei este superioara ratei dobanzii, depunerea nu este rentabila din punct de vedere economic, chiar daca genereaza un venit (dobanda obtinuta), deoarece scaderea puterii de cumparare a sumei economisite, provocata de inflatie, este mai mare decat cresterea ei nominala. Matematic, relatia dintre cele trei rate este descrisa de urmatoarea ecuatie: r = d i , unde r = rata reala a dobanzii, d = rata nominala a dobanzii, iar i = rata inflatiei. (Formula corecta este ceva mai complicata, dar, in cazul in care rata inflatiei este relativ mica, se poate folosi aproximarea anterioara). Prin urmare, în exemplul de mai sus, deoarece rata reala a dobanzii este negativa (r = d − i = 1% − 5% = − 4%), depunerea banilor intr-un cont de depozit nu reprezinta o alegere rentabila din punct de vedere economic.

Matematica aplicata (clasele IV-VIII): construirea si rezolvarea unui sistem de ecuatii December 05 2017, 0 Comments

Varsta mamei este cu 20 de ani mai mare decat varsta fiicei. Peste 10 ani, varsta mamei va fi de doua ori  mai mare decat varsta fiicei. Calculati varsta fiicei si cea a mamei, in prezent.

Pentru rezolvare, recomandam folosirea metodei algebrice (exista si varianta reprezentata de metoda grafica, prin intermediul unor segmente, dar aceasta este specifica claselor III-IV si, in plus, este considerata mult mai dificila de catre majoritatea elevilor, in special atunci cand numarul de necunoscute este ridicat) .

Prima etapa: stabilirea si notarea necunoscutelor. Problema are doua necunoscute: varstele celor doua persoane (mama si fiica), in prezent.  Putem folosi oricare doua litere pentru a nota cele doua varste; probabil notatiile cele mai sugestive vor fi m, pentru varsta mamei, si f, pentru varsta fiicei.

Etapa a doua consta in construirea unui set de ecuatii care sa exprime in limbaj matematic enuntul. Asadar:

m = f + 20

m + 10 = 2 x (f + 10)

Daca prima ecuatie este relativ simplu de construit, cea de-a doua poate da batai de cap multor elevi. Atentie: peste 10 ani, atat mama, cat si fiica vor avea varste cu 10 ani mai mari decat in prezent (o eroare frecventa consta in adaugarea lui 10 doar la varsta mamei, ajungandu-se, astfel, la ecuatia gresita m + 10 = 2 x f).

Etapa a treia: rezolvarea sistemului de ecuatii. Inlocuind m cu f + 20 in cea de-a doua ecuatie, aceasta devine:
f + 20 + 10 = 2f + 20 => 2f - f = 30 - 20 (mutam necunoscuta in partea dreapta a ecuatiei, astfel incat coeficientul ei sa ramana pozitiv, si, implicit, termenii liberi in partea stanga, rasturnand simultan ecuatia - mici artificii care pot fi invatate extrem de rapid) => f = 10 ani

Revenind in prima ecuatie: m = 10 + 20 => m = 30 ani

S: (m, f) ∈ {(30 ani, 10 ani)}

Etapa finala: verificarea solutiei obtinute (o etapa extrem de importanta, neglijata de multi elevi). Pentru verificare, revenim la datele initiale ale problemei si inlocuim necunoscutele cu solutia obtinuta.

(1) Varsta mamei este cu 20 de ani mai mare decat varsta fiicei: 30 = 10 + 20 "A" (propozitia este adevarata)

(2) Peste 10 ani, varsta mamei va fi de doua ori  mai mare decat varsta fiicei: 30 + 10 = 2 x (10 + 10) "A"