Blog

Despre modul în care cunoștințele elementare de matematică ne pot ajuta să ne menținem optimismul March 30 2020, 0 Comments

Anul 2020 pare a ne supune unor teste din ce în ce mai dificile. După o serie de incendii începute în noiembrie 2019 ce au devastat o mare parte din pădurile Australiei, un început de an furtunos (la propriu) în Marea Britanie (furtunile Ciara, Dennis, Jorge), epidemia provocată de un nou coronavirus, Covid-19, transformată în câteva săptămâni în pandemie amenință sănătatea și viețile a milioane de oameni din întreaga lume, provocând pierderi economice uriașe și intrarea într-o criză economică de proporții. În acest peisaj extrem de sumbru, totuși, matematica - mai precis, capitolul de probabilități - ne poate da o rază de speranță. În ce constă ea? După cum învățăm în primii ani de gimnaziu, probabilitatea realizării unui eveniment este raportul (exprimat, de regulă, procentual) între numărul de cazuri favorabile realizării evenimentului respectiv și numărul de cazuri posibile (totale). În cazul infectării cu virusul respectiv, probabilitatea de a deceda este exprimată prin raportul dintre numărul de decese provocate de acest virus și numărul total de persoane infectate. Statistica oficială nu poate fi extrem de exactă, deoarece cuantificarea ambelor variabile prezintă erori de măsurare. Vom lua în calcul exclusiv numitorul fracției respective (numărul de persoane infectate), deoarece discuția despre numărător (numărul de decese) este, mai curând, medicală decât... matematică.

Agențiile și trusturile de presă ne anunță, la intervale regulate și din ce în ce mai scurte de timp, care este numărul persoanelor infectate. Numărul real al infectărilor este, însă, mai mare (poate chiar mult mai mare), deoarece unele persoane (conform profesorului Kim Woo-joo de la Spitalul Universitar Guro din Seul, una dintre cele mai autorizate voci din Coreea de Sud, proporția acestora este de circa 20% din numărul total al persoanelor infectate) nu prezintă nici un fel de simptom, iar altele prezintă simptome foarte ușoare, asociate unei banale viroze. Un studiu publicat recent de o echipă de cercetători de la Universitatea din Oxford afirmă că este posibil ca jumătate din populația Marii Britanii (peste 30 de milioane de persoane, dintr-un total de circa 65 de milioane) să fie deja infectată. Este posibil ca aceste cifre să reprezinte exagerări, dar concluzia acceptată în mod unanim de comunitatea științifică internațională este clară: numărul real de persoane infectate este mai mare (probabil de cel puțin 2-3 ori) decât cifrele oficiale. De ce ar reprezenta această informație o veste bună? Simplu: deoarece probabilitatea de a deceda ca urmare a contractării virusului, în aceste condiții, este mult mai mică decât cea prezentată de presă. Valoarea sa nu este cuprinsă între 1 și 3%, ci undeva mai jos, probabil între 0,1 și 0,5%. 

Această veste nu trebuie să ne determine să relaxăm măsurile de prevenire a răspândirii virusului. Respectați regulile și recomandările oficialităților guvernamentale, aveți grijă de persoanele cele mai vulnerabile (persoanele în vârstă și cele ale căror boli reprezintă factori de potențare a acțiunii virusului respectiv), omenirea va trece, în cele din urmă, cu bine peste această perioadă dificilă.

 


Cuburi consecutive December 18 2019, 0 Comments

Cuburile (puterile cu exponentul 3) numerelor 1, 2 și 3 sunt 1, 8 și, respectiv, 27, iar suma lor este 36, un pătrat perfect (este pătratul numărului natural 6). Care este următorul set de trei cuburi consecutive a căror sumă reprezintă un pătrat perfect?

Premiul oferit (pentru un răspuns însoțit de o demonstrație validă): un set de trei ședințe online gratuite de matematică. Succes!




Matematică aplicată: "6 din 49" December 12 2019, 0 Comments

Unii dintre dumneavoastră așteaptă cu nerăbdare rezultatele renumitului concurs "6 din 49", organizat de Loteria Națională. Pe bună dreptate, de altfel: câștigurile ce pot fi obținute, în cazul extrem de fericit în care nimerim combinația potrivită, sunt uriașe (de exemplu, la data de 12 mai 2019, câștigul brut obținut de persoana care a ghicit toate cele 6 numere a fost de peste 22 milioane lei   ̶   circa 4,65 milioane euro). 

Care sunt șansele de a ghici 6 numere dintr-un total de 49? Matematica (capitolul Probabilități, mai exact) ne poate sări în ajutor. Astfel, probabilitatea de a ghici un număr dintr-o listă de 49 de numere este 1/49 (numărul de cazuri favorabile realizării evenimentului respectiv, raportat la numărul total de cazuri posibile). Mai departe, probabilitatea de a nimeri cel de-al doilea număr din totalul de 48 de numere rămase în urnă este 1/48, ș.a.m.d. Prin urmare, probabilitatea de a ghici 6 numere din 49 este rezultatul produsului 1/49 x 1/48 x 1/47 x 1/46 x 1/45 x 1/44 = 0,00000000009932116447247939 (lista zecimalelor continuă la infinit) sau, poate mai simplu exprimat, aveți o șansă dintr-un total de peste 10 miliarde (10 068 347 520, mai exact) de a nimeri combinația câștigătoare.

Mult succes!



Despre știrile false și, mai ales, despre modul în care matematica ne poate ajuta să ne ferim de ele December 05 2019, 0 Comments

Recent, un ziar important ne-a anunțat că "60% din diagnosticele puse în România sunt greşite". Vestea, bazată pe un studiu realizat de o clinică (neprecizată) din București, este extrem de îngrijorătoare. Din fericire, orice persoană familiarizată cu matematica (la un nivel relativ elementar) va putea demonstra cu ușurință că această informație este falsă.

Premisa de la care pleacă propoziția (concluzia) de mai sus este următoarea: "Şase din zece pacienţi din Bucureşti au primit cel puţin o dată un diagnostic greşit sau un tratament neadecvat." Foarte probabil, este adevărată, dar "saltul" logic de la această premisă la procentajul uriaș, cu rol de clickbait din titlu ("60% din diagnostice... sunt greşite") ar fi corect doar dacă fiecărui pacient i-ar fi alocat un singur diagnostic de-a lungul întregii sale vieți. Există, cu siguranță, un procentaj relativ ridicat de erori medicale, dar el nu este nu atât de mare.

Un exemplu numeric ne-ar putea ajuta să înțelegem mai bine eroarea din acest raționament. Presupunând că numărul de pacienți este 1 000 (pentru simplificarea calculelor), iar fiecare pacient a primit, în medie, 10 diagnostice, numărul total de diagnostice este 10 000. Dintre acestea, pentru ca procentajul de 60% (erori) să fie corect, ar trebui ca 6 000 să fie diagnostice greșite. Conform afirmației "Şase din zece pacienţi din Bucureşti au primit cel puţin o dată un diagnostic greşit sau un tratament neadecvat", 600 de pacienți din cei 1 000 au primit cel puțin un diagnostic greșit, prin urmare numărul minim total de diagnostice greșite este 600, iar procentajul lor în total este 6%. Dar un astfel de procentaj nu ar fi vândut (dez)informația la fel de bine...

Pe scurt: în România nu se studiază două capitole importante ale matematicii, statistica și probabilitățile, decât la un nivel extrem de rudimentar, iar ziariștii - și cititorii - cad pradă foarte ușor senzaționalului.



Matematica aplicată în... bucătărie October 09 2018, 0 Comments

Mihaela dorește să le facă o surpriză prietenilor ei, de ziua sa de naștere. În acest scop va pregăti o prăjitură (este prima și, să sperăm, nu ultima oară când face prăjituri). Rețeta pe care a descărcat-o de pe internet pare a îi da, însă, bătăi de cap: cele trei ingrediente pe care le va folosi, zahăr, unt și făină, sunt prezentate sub formă de proporție (1:2:8), nu prin intermediul unor cantități fixe. Să încercăm să o ajutăm: dacă va folosi, de exemplu, 100 grame de zahăr, atunci cantitatea de unt necesară este de două ori mai mare (200 grame), iar cea de făină, de 8 ori mai mare (800 grame). (Profesorul ei de matematică a spus ceva despre mărimi direct - sau invers? nu își amintește prea bine - proporționale, dar Mihaela își citea mesajele din Facebook, în momentele respective).

Cantitățile de care dispune sunt următoarele: 150 grame de zahăr, 300 grame de unt și 1 kilogram de făină. Care este cantitatea pe care o poate folosi din fiecare ingredient, astfel încât prăjitura să respecte indicațiile din rețetă și, în același timp, să poată satisface cel mai mare număr de invitați posibil?




Sisteme de inecuații (matematică VII-VIII) February 19 2018, 0 Comments

Să se afle soluțiile întregi ale sistemului de inecuații:

7 < 2 – 3x < 13

Rezolvarea presupune, mai întâi, eliminarea termenului liber din expresia care conține necunoscuta, urmată de obținerea coeficientului 1 pentru necunoscută. Astfel:

7 < 2 – 3x < 13|– 2 [scădem 2 din fiecare termen al inecuației]

5 < – 3x < 11|: (– 3) [împărțim termenii inecuației la – 3; observație: semnul unei inecuații se schimbă atunci când aceasta se înmulțește sau se împarte la un număr negativ]

– 5/3 > x > – 11/3 [urmează ultima etapă: scrierea termenilor finali în ordine crescătoare]

– 11/3 < x < – 5/3 

Tinând cont de restricția inițială (x este număr întreg), soluția sistemului de inecuații este mulțimea      {– 3, – 2}. Bineînțeles, nu neglijăm verificarea soluției, revenind cu fiecare dintre cele două numere obținute în setul inițial de inecuații.


Congruența triunghiurilor: cazul LUU (latură-unghi-unghi) January 26 2018, 0 Comments

În majoritatea manualelor și culegerilor de matematică publicate în România, cazurile de congruență a triunghiurilor se rezumă la cele trei situații "clasice": latură-latură-latură (LLL), latură-unghi-latură (LUL) și unghi-latură-unghi (ULU). În afară de aceste trei situații, există și cazul în care perechile de unghiuri congruente nu sunt cele alăturate laturilor respectiv congruente (mai simplu spus, este suficient ca oricare două perechi de unghiuri din cele două triunghiuri să fie congruente, în condițiile în care există o pereche de laturi, respectiv, congruente, pentru ca cele două triunghiuri să fie, la rândul lor, congruente). Demonstrația este simplă și se bazează pe teorema conform căreia în orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor este de 180°:

Fie două triunghiuri, ∆ABC și ∆MNP. Laturile AB și MN sunt congruente (notația matematică corectă: [AB] ≡ [MN]), iar perechile de unghiuri congruente sunt: ∠ A ≡ ∠ M, ∠ C ≡ ∠ P. Constatăm că nu putem încadra situația aceasta în cazul de congruență ULU, deoarece perechea de unghiuri C și P nu reprezintă unghiuri alăturate perechii de laturi congruente, AB și MN. Cum procedăm pentru a demonstra că unghiurile B și N sunt, la rândul lor, congruente?

∠ A ≡ ∠ M <=> m (∠ A) = m (∠ M) (1)
∠ C ≡ ∠ P <=> m (∠ C) = m (∠ P) (2)

∆ABC: m (∠ A) + m (∠ B) + m (∠ C) = 180° => m (∠ B) = 180° ̶  [m (∠ A) + m (∠ C)] (3)

∆MNP: m (∠ M) + m (∠ N) + m (∠ P) = 180° => m (∠ N) = 180° ̶  [m (∠ M) + m (∠ P)] (4)

Din (1), (2), (3) și (4) => m (∠ B) = m (∠ N) <=> ∠ B ≡ ∠ N

Să recapitulăm: ∠ A ≡ ∠ M, [AB] ≡ [MN] și ∠ B ≡ ∠ N => (conform cazului de congruență a triunghiurilor ULU) ∆ABC ≡ ∆MNP.

Desigur, ar fi mult mai dezirabilă introducerea acestui caz, LUU, în programa românească (reprezintă o simplă extensie a cazului ULU și este prezent, în forma aceasta, în programele din alte spații geografice), decât încărcarea demonstrațiilor geometrice cu elemente suplimentare prea puțin utile.

 

 


Economie aplicata: rata nominala si rata reala a dobanzii December 13 2017, 0 Comments

O persoana a depus suma de 1 000 lei intr-un depozit bancar, la o rata (nominala) a dobanzii de 1%. Rata inflatiei in anul analizat a fost 5%. Calculati suma de bani aflata in contul de depozit la sfarsitul anului respectiv si analizati, din punct de vedere economic, decizia persoanei respective.

Daca raspunsul la prima intrebare este relativ simplu (D = S × d × n, unde S reprezinta suma initiala - depozitul, d este rata dobanzii, iar n reprezinta numarul de ani, prin urmare D = 1 000 × 1% × 1 = 10 lei => suma aflata in cont, la sfarsitul anului, este 1 000 + 10 = 1 010 lei), determinarea randamentului economic real al actiunii respective (al deciziei de a economisi) necesita compararea ratei dobanzii (venitul obtinut de o persona ce depune suma de 100 lei, timp de un an, intr-un cont de depozit) cu rata inflatiei (cresterea generalizata, exprimata procentual, a preturilor).In cazul in care rata inflatiei este superioara ratei dobanzii, depunerea nu este rentabila din punct de vedere economic, chiar daca genereaza un venit (dobanda obtinuta), deoarece scaderea puterii de cumparare a sumei economisite, provocata de inflatie, este mai mare decat cresterea ei nominala. Matematic, relatia dintre cele trei rate este descrisa de urmatoarea ecuatie: r = d i , unde r = rata reala a dobanzii, d = rata nominala a dobanzii, iar i = rata inflatiei. (Formula corecta este ceva mai complicata, dar, in cazul in care rata inflatiei este relativ mica, se poate folosi aproximarea anterioara). Prin urmare, în exemplul de mai sus, deoarece rata reala a dobanzii este negativa (r = d − i = 1% − 5% = − 4%), depunerea banilor intr-un cont de depozit nu reprezinta o alegere rentabila din punct de vedere economic.

Matematica aplicata (clasele IV-VIII): construirea si rezolvarea unui sistem de ecuatii December 05 2017, 0 Comments

Varsta mamei este cu 20 de ani mai mare decat varsta fiicei. Peste 10 ani, varsta mamei va fi de doua ori  mai mare decat varsta fiicei. Calculati varsta fiicei si cea a mamei, in prezent.

Pentru rezolvare, recomandam folosirea metodei algebrice (exista si varianta reprezentata de metoda grafica, prin intermediul unor segmente, dar aceasta este specifica claselor III-IV si, in plus, este considerata mult mai dificila de catre majoritatea elevilor, in special atunci cand numarul de necunoscute este ridicat) .

Prima etapa: stabilirea si notarea necunoscutelor. Problema are doua necunoscute: varstele celor doua persoane (mama si fiica), in prezent.  Putem folosi oricare doua litere pentru a nota cele doua varste; probabil notatiile cele mai sugestive vor fi m, pentru varsta mamei, si f, pentru varsta fiicei.

Etapa a doua consta in construirea unui set de ecuatii care sa exprime in limbaj matematic enuntul. Asadar:

m = f + 20

m + 10 = 2 x (f + 10)

Daca prima ecuatie este relativ simplu de construit, cea de-a doua poate da batai de cap multor elevi. Atentie: peste 10 ani, atat mama, cat si fiica vor avea varste cu 10 ani mai mari decat in prezent (o eroare frecventa consta in adaugarea lui 10 doar la varsta mamei, ajungandu-se, astfel, la ecuatia gresita m + 10 = 2 x f).

Etapa a treia: rezolvarea sistemului de ecuatii. Inlocuind m cu f + 20 in cea de-a doua ecuatie, aceasta devine:
f + 20 + 10 = 2f + 20 => 2f - f = 30 - 20 (mutam necunoscuta in partea dreapta a ecuatiei, astfel incat coeficientul ei sa ramana pozitiv, si, implicit, termenii liberi in partea stanga, rasturnand simultan ecuatia - mici artificii care pot fi invatate extrem de rapid) => f = 10 ani

Revenind in prima ecuatie: m = 10 + 20 => m = 30 ani

S: (m, f) ∈ {(30 ani, 10 ani)}

Etapa finala: verificarea solutiei obtinute (o etapa extrem de importanta, neglijata de multi elevi). Pentru verificare, revenim la datele initiale ale problemei si inlocuim necunoscutele cu solutia obtinuta.

(1) Varsta mamei este cu 20 de ani mai mare decat varsta fiicei: 30 = 10 + 20 "A" (propozitia este adevarata)

(2) Peste 10 ani, varsta mamei va fi de doua ori  mai mare decat varsta fiicei: 30 + 10 = 2 x (10 + 10) "A"